Giải bài 7.25 trang 35

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCDABCD là hình vuông cạnh aaa

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ , tam giác $S A D$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy $(A B C D)$ . Gọi $H, M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A D$ và $A B$ .

a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt đáy $(A B C D)$ .

b) Chứng minh rằng $(S M D) ⊥ (S H C)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất:

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng và vuông góc với giao tyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

${\begin{cases} (P) ⊥ (Q) \\ a \subset (P) \\ b = (P) \cap (Q) \\ a ⊥ b \end{cases} \Rightarrow a ⊥ (Q)$

Ta có $(S A D) ⊥ (A B C D)$ và $S H ⊥ A D$ nên $S H ⊥ (A B C D)$ ,

Xác định hình chiếu của đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$

Tính góc giữa hai đường thẳng $S C$ và hình chiếu của nó rồi kết luận

Để chứng minh $(S D M) ⊥ (S C H)$ sử dụng tính chất $D M ⊥ C H, D M ⊥ S H$

Lời giải chi tiết

a) Ta có $(S A D) ⊥ (A B C D)$ và $S H ⊥ A D$ nên $S H ⊥ (A B C D)$ , suy ra góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $S C$ và $C H$ , mà $(S C, C H) = \hat{S C H}$ , ta tính được $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}, H C = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ và $S C = a \sqrt{2}$ .

Do đó $c o s \hat{S H C} = \frac{H C}{S C} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

b) Ta có $D M ⊥ C H, D M ⊥ S H$ nên $D M ⊥ (S C H)$ . Hơn nữa, mặt phẳng (SDM) chứa đường thẳng $D M$ nên $(S D M) ⊥ (S C H)$ .