Giải bài 7.26 trang 42

Đề bài

Cho đường thẳng $\Delta :x\sin {\alpha }^{\circ }+ycos{\alpha }^{\circ }-1=0$, trong đó $\alpha$ là một số thực thuộc khoảng $\left(0;180\right)$.

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng $\Delta$.

b) Chứng minh rằng khi $\alpha$ thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng d.

Lời giải chi tiết

a) $d\left(O,\Delta \right)=\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{{\left(\sin {\alpha }^{\circ }\right)}^2+{\left(cos{\alpha }^{\circ }\right)}^2}}=1$.

b) Gọi $\left(C\right)$ là đường tròn tâm O(0;0) bán kính $R=1$, đường tròn này cố định.

Ta chứng minh đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng d với mọi $\alpha$.

Vì $d\left(O,\Delta \right)=1=R$, $\forall \alpha$ nên $\left(C\right)$ luôn tiếp xúc với $\Delta$.

Vậy phương trình đường tròn $\left(C\right)$ là $x^2+y^2=1$.