Giải bài 7.27 trang 37
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng aaa. Tính theo aaa khoảng cách
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng aa. Tính theo aa khoảng cách
a) Giữa hai đường thẳng ABAB và C′D′C′D′.
b) Giữa đường thẳng ACAC và (A′B′C′D′)(A′B′C′D′).
c) Từ điểm AA đường thẳng B′D′B′D′.
d) Giữa hai đường thẳng ACAC và B′D′B′D′.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
Bước 1: Xác định đường vuông góc chung hai đường thẳng
Bước 2: Tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng
b) Vì AC∥(A′B′C′D′)AC∥(A′B′C′D′) nên d(AC,(A′B′C′D′))=d(A,(A′B′C′D′))=AA′d(AC,(A′B′C′D′))=d(A,(A′B′C′D′))=AA′.
c) Gọi O′O′ là giao điểm của A′C′A′C′ và B′D′B′D′ ta có AO′⊥B′D′AO′⊥B′D′, theo định lý Pythagore áp dụng cho tam giác AA′O′AA′O′ vuông tại A′A′ thì AO′=a√62AO′=a√62.
Do đó, d(A,B′D′)=AO′d(A,B′D′)=AO′.
d) Ta có d(AC,B′D′)=d(AC,(A′B′C′D′))=d(A,(A′B′C′D′))=AA′d(AC,B′D′)=d(AC,(A′B′C′D′))=d(A,(A′B′C′D′))=AA′.
Lời giải chi tiết
a) Vì BC′BC′ vuông góc với cả hai đường thẳng ABABvà C′D′C′D′ nên d(AB,C′D′)=BC′=a√2d(AB,C′D′)=BC′=a√2.
b) Vì AC∥(A′B′C′D′)AC∥(A′B′C′D′) nên d(AC,(A′B′C′D′))=d(A,(A′B′C′D′))=AA′=ad(AC,(A′B′C′D′))=d(A,(A′B′C′D′))=AA′=a.
c) Gọi O′O′ là giao điểm của A′C′A′C′ và B′D′B′D′ ta có AO′⊥B′D′AO′⊥B′D′, theo định lý Pythagore áp dụng cho tam giác AA′O′AA′O′ vuông tại A′A′ thì AO′=a√62AO′=a√62. Do đó, d(A,B′D′)=AO′=a√62d(A,B′D′)=AO′=a√62.
d) Ta có d(AC,B′D′)=d(AC,(A′B′C′D′))=d(A,(A′B′C′D′))=AA′=ad(AC,B′D′)=d(AC,(A′B′C′D′))=d(A,(A′B′C′D′))=AA′=a.