Giải bài 7.27 trang 42

Vị trí của một chất điểm M tại thời điểm t (t trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có tọa độ là

Đề bài

Vị trí của một chất điểm M tại thời điểm t (t trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có tọa độ là $(3 + 5 \sin t^{\circ}; 4 + 5 \cos t^{\circ})$ . Tìm tọa độ của chất điểm M khi M ở cách xa gốc tọa độ nhất.

Lời giải chi tiết

+ Từ cách xác định tọa độ của chất điểm M ta có:

${\begin{cases} x_{M} = 3 + 5 \sin t^{\circ} \\ y_{M} = 4 + 5 \cos t^{\circ} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{M} - 3 = 5 \sin t^{\circ} \\ y_{M} - 4 = 5 \cos t^{\circ} \end{cases}$

$\Rightarrow {(x_{M} - 3)}^{2} + {(y_{M} - 4)}^{2} = 25$ .

Vậy chất điểm M luôn thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I (3; 4)$ và có bán kính $R = 5$ . Mặt khác gốc tọa độ O cũng thuộc đường tròn $(C)$ . Do đó ta có $O M \leq 2 R = 10$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $O M$ là đường đường kính của đường tròn $(C)$ , tức là I là trung điểm của OM, điều đó tương đương với:

${\begin{cases} x_{M} = 2 x_{1} - x_{0} \\ y_{M} = 2 y_{1} - y_{0} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \sin t^{\circ} = \frac{3}{5} \\ \cos t^{\circ} = \frac{4}{5} \end{cases}$ (có $t \in (0; 180)$ thỏa mãn hệ).

Vậy $M (6; 8)$ .