Giải bài 7.28 trang 38

Cho hình chóp (S.ABC) có đáy (ABC) là tam giác đều cạnh (a). (SA bot left( {ABC} right)) và (SA = 2a)

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ . $S A ⊥ (A B C)$ và $S A = 2 a$ . Tính theo $a$ khoảng cách:

a) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(S A C)$ .

b) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ .

c) Giữa hai đường thẳng $A B$ và $S C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(S A C)$ .

Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc của \B\) lên mặt phẳng $(S A C)$ là $H$ .

Bước 2: Tính $B H$ .

a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ .

Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(S B C)$ là $K$

Bước 2: Tính $A K$ .

c) Tính khoảng cách từ giữa hai đường thẳng $A B$ và $S C$ .

Bước 1: Dựng mặt phẳng $(S C D)$ chứa $S C$ và song song với $A B$

Dựng hình bình hành $A B C D$ thì $A B / / (S C D)$ và mặt phẳng $(S C D)$ chứa $S C$ nên $d (A B, S C) = d (A B, (S C D))$ . Mà $d (A B, (S C D)) = d (A, (S C D))$ .

Bước 2: Tính $d (A, (S C D))$ .

Kết luận $d (A B, S C)$ .

Lời giải chi tiết

a) Kẻ $B H ⊥ A C$ tại $H$ , mà $S A ⊥ (A B C)$ nên $S A ⊥ B H$ , suy ra $B H ⊥ (S A C)$ .

Do đó, $d (B, (S A C)) = B H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

b) Kẻ $A M ⊥ B C$ tại $M$ và $A K ⊥ S M$ tại $K$ thì $A K ⊥ (S B C)$ , suy ra $d (A, (S B C)) = A K$ .

Ta có: $\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} = \frac{19}{12 a^{2}} \Rightarrow A K = 2 a \sqrt{\frac{3}{19}}$ . Nên $d (A, (S B C)) = 2 a \sqrt{\frac{3}{19}}$ .

c) Dựng hình bình hành $A B C D$ thì $A B ∥ (S C D)$ và mặt phẳng $(S C D)$ chứa $S C$ nên $d (A B, S C) = d (A B, (S C D))$ .

Mà $d (A B, (S C D)) = d (A, (S C D))$ .

Kẻ AN vuông góc với CD, AQ vuông góc với SN.

$d (A, (S C D)) = A Q = 2 a \sqrt{\frac{3}{19}}$ . Vậy $d (A B, S C) = 2 a \sqrt{\frac{3}{19}}$ .