Giải bài 7.29 trang 38

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, góc $ABC$ bằng ${60}^{\circ }$, biết tam giác $SBC$ đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm $S$ đến mặt phẳng $\left(ABC\right)$.

b) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left(SAC\right)$.

c) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ $SH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ thì $SH\perp \left(ABC\right)$, suy ra $d\left(S,\left(ABC\right)\right)=SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

b) Kẻ HK vuông góc với $AC$ tại $K,HQ$ vuông góc với $SK$ tại $Q$ thì $d\left(H,\left(SAC\right)\right)=HQ$.

Ta có: $AB=\frac{a}{2},HK=\frac{a}{4}$ và tam giác $SHK$ vuông tại $H$, đường cao $HQ$ nên $HQ=\frac{SH\cdot HK}{SK}=\frac{a\sqrt{39}}{26}$.

  

Lại có $H$ là trung điểm của $BC$ nên $d\left(B,\left(SAC\right)\right)=2d\left(H,\left(SAC\right)\right)=\frac{a\sqrt{39}}{13}$.

c) Dựng hình bình hành $ABMC$, chứng minh được $ABMC$ là hình chữ nhật.

Khi đó $AB//\left(SCM\right)$ và mặt phẳng $\left(SMC\right)$ chứa $SC$ nên

$d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCM\right)\right)=d\left(B,\left(SCM\right)\right)=2d\left(H,\left(SCM\right)\right).$

Kẻ $HN$ vuông góc với $CM$ tại $N,HE$ vuông góc với $SN$ tại $N$ thì $HE\perp \left(SCM\right)$, suy ra $d\left(H,\left(SCM\right)\right)=HE$.

Ta có: $HN=\frac{BM}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$, tam giác SHN vuông tại $H$, đường cao $HE$ nên $HE=\frac{SH\cdot HN}{SN}=\frac{a\sqrt{15}}{10}$.

Vậy $d\left(AB,SC\right)=\frac{a\sqrt{15}}{5}$.