Giải bài 7.3 trang 26

Cho tứ diện ABCDABCDABCD, gọi MMM và NNN lần lượt là trung điểm của ACACAC và BDBDBD.

Đề bài

Cho tứ diện $A B C D$ , gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $A C$ và $B D$ . Biết $M N = a \sqrt{3}; A B = 2 \sqrt{2} a$ và $C D = 2 a$ . Chứng minh rằng đường thẳng $A B$ vuông góc với đường thẳng $C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh góc giữa đường thẳng $A B$ và $C D$ bằng $90^{\circ}$

+ Bước 1: Tính góc giữa hai đường thẳng $A B$ và $C D$ bằng $90^{\circ}$

+ Bước 2: Kết luận đường thẳng $A B$ vuông góc với đường thẳng $C D$ .

Chú ý sử dụng định lý đảo Pytago để chứng minh tam giác là tam giác vuông

Lời giải chi tiết

Lấy $K$ là trung điểm của cạnh $B C$ , ta có: $N K$ và $M K$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $B C D$ và tam giác $A B C$ nên $N K = a, M K = a \sqrt{2}$ .

Do đó, $M N^{2} = 3 a^{2} = N K^{2} + M K^{2}$ suy ra tam giác $M N K$ vuông tại $K$ , hay $M K ⊥ N K$ , mà $M K / / A B$ và $N K / / C D$ nên $(A B, C D) = (M K, N K) = 90^{\circ}$ , hay $A B ⊥ C D$ .