Giải bài 7.30 trang 38

Cho hình hộp chữ nhật ABCD⋅A′B′C′D′ABCD⋅A′B′C′D′ABCD \cdot A'B'C'D' có AB=a,AD=a√2,AA′=a√3AB=a,AD=a2,AA′=a3AB = a,AD = a\sqrt 2 ,AA' = a\sqrt 3 . Tính theo a khoảng cách:

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D \cdot A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = a, A D = a \sqrt{2}, A A^{'} = a \sqrt{3}$ . Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(B D D^{'} B^{'})$ .

b) Giữa hai đường thẳng $B D$ và $C D^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(B D D^{'} B^{'})$ .

Bước 1: Tìm hình chiếu vuông góc của $A$ xuống mặt phẳng $(B D D^{'} B^{'})$ .

Ta có $(A B C D) ⊥ (B B^{'} D^{'} D)$ .

Kẻ $A H$ vuông góc với $B D$ tại $H$ .

Khi đó $A H ⊥ (B B^{'} D^{'} D)$ , suy ra $d (A, (B B^{'} D^{'} D)) = A H$

Bước 2: Tính $A H$

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B D$ và $C D^{'}$ .

Bước 1: Dựng mặt phẳng qua đường thẳng $B D$ và song song với $C D^{'}$ là $(A^{'} B D)$

Chuyển khoảng cách về chân đường vuông góc $d (C D^{'}, B D) = d (C D^{'}, (A^{'} B D)) = d (C, (A^{'} B D)) = d (A, (A^{'} B D)) .$

Bước 2: Tính $d (A, (A^{'} B D)) \Rightarrow$ $d (C D^{'}, B D)$ .

Lời giải chi tiết

a) Kẻ $A H$ vuông góc với $B D$ tại $H$ . Khi đó $A H ⊥ (B B^{'} D^{'} D)$ , suy ra

$d (A, (B B^{'} D^{'} D)) = A H = \frac{A B \cdot A D}{B D} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

b) Ta có: $C D^{'} / / (A^{'} B D)$ nên $d (C D^{'}, B D) = d (C D^{'}, (A^{'} B D)) = d (C, (A^{'} B D)) .$

Vì $A C$ cắt $B D$ tại trung điểm của $A C$ nên $d (C, (A^{'} B D)) = d (A, (A^{'} B D))$ .

Kẻ $A K$ vuông góc với $A^{'} H$ tại $K$ .

Khi đó $A K ⊥ (A^{'} B D)$ , suy ra $d (A, (A^{'} B D)) = A K = \frac{A H \cdot A A^{'}}{A^{'} H} = \frac{a \sqrt{66}}{11}$ . Vậy $d (C D^{'}, B D) = \frac{a \sqrt{66}}{11}$ .