Giải bài 7.31 trang 38

Cho hình lăng trụ đứng ABC⋅A′B′C′ABC⋅A′B′C′ABC \cdot A'B'C' có đáy ABCABCABC là tam giác vuông tại AAA và AB=AC=AA′=aAB=AC=AA′=aAB = AC = AA' = a.

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ và $A B = A C = A A^{'} = a$ . Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm $A$ đến đường thẳng $B^{'} C^{'}$ .

b) Giữa hai đường thẳng $B C$ và $A B^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B^{'} C^{'}$ .

Bước 1: Tìm hình chiếu của điểm trên đường thẳng $B^{'} C^{'}$ .

Kẻ $A H$ vuông góc với $B^{'} C^{'}$ tại $H$ thì $d (A, B^{'} C^{'}) = A H$ .

Bước 2: Tính $A H$

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B C$ và $A B^{'}$ .

Bước 1: Dựng mặt phẳng qua đường thẳng $A B^{'}$ và song song với $B C$ là $(A B^{'} C^{'})$

Chuyển khoảng cách về chân đường vuông góc

$d (B C, A B^{'}) = d (B C, (A B^{'} C^{'})) = d (C, (A B^{'} C^{'})) = d (C, (A B^{'} C^{'})) = d (A^{'}, (A B^{'} C^{'})) .$

Bước 2: Tính $d (A^{'}, (A B^{'} C^{'}))$

Lời giải chi tiết

a) Kẻ $A H$ vuông góc với $B^{'} C^{'}$ tại $H$ thì $d (A, B^{'} C^{'}) = A H$ .

Ta có: $A B^{'} = A C^{'} = B^{'} C^{'} = a \sqrt{2}$ nên $A H = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Vậy $d (A, B^{'} C^{'}) = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

b) Vì $B C / / (A B^{'} C^{'})$ nên $d (B C, A B^{'}) = d (B C, (A B^{'} C^{'})) = d (C, (A B^{'} C^{'})) .$

Mà $C A^{'}$ cắt $A C^{'}$ tại trung điểm của $C A^{'}$ nên $d (C, (A B^{'} C^{'})) = d (A^{'}, (A B^{'} C^{'}))$

Đặt $d (A^{'}, (A B^{'} C^{'})) = h$ thì $\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{A^{'} A^{2}} + \frac{1}{A^{'} B^{^{'} 2}} + \frac{1}{A^{'} C^{^{'} 2}} = \frac{3}{a^{2}}$ , suy ra $h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Vậy $d (B C, A B^{'}) = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .