Giải bài 7.32 trang 46

Viết phương trình chính tắc của hypebol (H)(H)\left( H \right), biết (H)(H)\left( H \right) đi qua điểm M(3√2;−4)M(32;−4)M\left( {3\sqrt 2 ; - 4} \right) và có một tiêu điểm là F2(5;0)F2(5;0){F_2}\left( {5;0} \right).

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ , biết $(H)$ đi qua điểm $M (3 \sqrt{2}; - 4)$ và có một tiêu điểm là $F_{2} (5; 0)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình Hypebol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ và có tiêu cự là $2 c$ với $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Lời giải chi tiết

+ Phương trình chính tắc của $(H)$ có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó $a > b > 0$ .

+ Do $(H)$ có 1 tiêu điểm $F_{2} (5; 0)$ nên ta có:

$c = 5 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = c^{2} = 25 \Rightarrow a^{2} = 25 - b^{2}$ .

+ $(H)$ đi qua $M (3 \sqrt{2}; 4)$ nên ta có:

$\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{a^{2}} - \frac{4^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{18}{a^{2}} - \frac{16}{b^{2}} = 1$ .

+ Đặt $t = b^{2} > 0 \Rightarrow a^{2} = 25 - t$ .

$\Rightarrow \frac{18}{25 - t} - \frac{16}{t} = 1 \Rightarrow 18 t - 16 (25 - t) = t (25 - t)$

$\Rightarrow t^{2} + 9 t - 400 = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} t = 16 (T M) \\ t = - 25 (L) \end{array}$

$\Rightarrow b^{2} = t = 16, a^{2} = 25 - t = 9$ .

Vậy phương trình chính tắc của $(H)$ là: $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .