Giải bài 7.33 trang 46

Viết phương trình chính tắc của parabol (P)(P)\left( P \right), biết rằng (P)(P)\left( P \right) có đường chuẩn là đường thẳng Δ:x+4=0Δ:x+4=0\Delta :x + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P)(P)\left( P \right) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của (P)(P)\left( P \right) bằng 5.

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của parabol $(P)$ , biết rằng $(P)$ có đường chuẩn là đường thẳng $Δ : x + 4 = 0$ . Tìm tọa độ điểm M thuộc $(P)$ sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của $(P)$ bằng 5.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Parabol $(P)$ có dạng $y^{2} = 2 p x$ với $p > 0$ có tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , phương trình đường chuẩn $Δ : x = - \frac{p}{2}$ .

+ Dựa vào khoảng cách từ M đến tiêu điểm của $(P)$ bằng 5.

Lời giải chi tiết

+ Phương trình chính tắc của $(P)$ có dạng $y^{2} = 2 p x$ , trong đó $p > 0$ .

+ $(P)$ có đường chuẩn $Δ : x + 4 = 0$

$\Rightarrow x = - 4 \Rightarrow - \frac{p}{2} = - 4 \Rightarrow p = 8$ .

$\Rightarrow$ Phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^{2} = 16 x$ .

+ Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ . Có $M \in (P)$ nên ta có:

$d (M, Δ) = M F = 5 = \frac{| x^{0} + 4 |}{\sqrt{1^{2} + 0}}$

$\Rightarrow | x^{0} + 4 | = 5 \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 1 \\ x_{0} = - 9 \end{array}$

+ $x_{0} = - 9 \Rightarrow y_{0}^{2} = 16 (- 9) = - 144$ (vô lí).

+ $x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0}^{2} = 16.1 = 16 \Rightarrow [\begin{array}{l} y_{0} = 4 \\ y_{0} = - 4 \end{array}$

Vậy $M (1; 4)$ hoặc $M (1; - 4)$ .