Giải bài 7.34 trang 41

Cho khối chóp đều (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông cạnh bằng (a)

Đề bài

Cho khối chóp đều $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , góc giữa mặt phẳng $(S C D)$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $60^{\circ}$ . Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S . A B C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: $S = \frac{1}{3} B h$ .

Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy, $h$ là đường cao của hình chóp.

Bước 1: Xác định chiều cao $S O$ .

Bước 2: Tính diện tích đáy.

Bước 3: Tính thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D}$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ , ta có $S O$ vuông góc với mặt đáy $(A B C D)$ . Kẻ $O M$ vuông góc với $C D$ tại $M$ thì $S M$ cũng vuông góc với $C D$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(S C D)$ và $(A B C D)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $S M$ và $O M$ , mà $(S M, O M) = \hat{S M O} = 60^{\circ}$ .
Ta có: $O M = \frac{a}{2};$ $S O = O M \cdot t a n \hat{S M O} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .
Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .