Giải bài 7.34 trang 46

tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi

Đề bài

Cho parabol $(P)$ có phương trình $y^{2} = 16 x$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F của $(P)$ và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng $Δ$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Parabol $(P)$ có dạng $y^{2} = 2 p x$ với $p > 0$ có tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , phương trình đường chuẩn $Δ : x = - \frac{p}{2}$ .

+ Khoảng cách từ A và B đến Ox và tính tính của chúng.

Lời giải chi tiết

Gọi vecto chỉ phương của $Δ$ là $\vec{u_{Δ}} = (a; b)$ . Vì $Δ$ đi qua điểm $F (4; 0)$ và $Δ$ không trùng với trục $O x$ nên ta có $b \neq 0$ . Phương trình tham số của $Δ$ :

${\begin{cases} x = 4 + a t \\ y = 0 + b t = b t \end{cases}$

+ $Δ \cap (P) \Rightarrow {(b t)}^{2} = 16 (4 + a t)$

$\Rightarrow b^{2} t^{2} - 16 a t - 64 = 0$ .

+ Phương trình (1) có $Δ^{'} = 64 a^{2} + 64 b^{2} > 0$ (do $b \neq 0$ ) suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $Δ$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt A, B.

+ Gọi $A (4 + a t_{1}; b t_{1}), B (4 + a t_{2}; b t_{2})$ trong đó $t_{1}, t_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Ta có:

$d (A, O x) . d (B, O x) = \frac{| b t_{1} |}{\sqrt{0^{2} + 1^{2}}} . \frac{| b t_{2} |}{\sqrt{0^{2} + 1^{2}}} = | b^{2} t_{1} t_{2} |$

+ Theo định lí Vi-ét, ta có $t_{1} t_{2} = \frac{- 64}{b^{2}}$

$\Rightarrow d (A, O x) . d (B, O x) = | b^{2} . \frac{- 64}{b^{2}} | = 64$ .

$\Rightarrow$ Tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.