Giải bài 7.35 trang 59

Đề bài

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ .

a) Tìm các giao điểm $A_{1}, A_{2}$ của (E) với trục hoành và các giao điểm $B_{1}, B_{2}$ của (E) với trục tung. Tính $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}$ .

b) Xét một điểm bất kì $M (x_{o}; y_{o})$ thuộc (E).

Chứng minh rằng, $b^{2} \leq x_{o}^{2} + y_{o}^{2} \leq a^{2}$ và $b \leq O M \leq a$ .

Chú ý: $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}$ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tọa độ $A_{1}, A_{2}$ thỏa mãn phương trình (E) và $y = 0$ . Tọa độ $B_{1}, B_{2}$ thỏa mãn phương trình (E) và $x = 0$ .

b) Sử dụng tính chất $a > b > 0$ và đẳng thức $\frac{x_{o}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{o}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Lời giải chi tiết

a) Các giao điểm của (E) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

${\begin{cases} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \pm a \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} A_{1} (- a; 0) \\ A_{2} (a; 0) \end{cases}$

Các giao điểm của (E) với trục tung có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

${\begin{cases} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 0 \\ y = \pm b \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} B_{1} (0; - b) \\ B_{2} (0; b) \end{cases}$

Ta có $A_{1} A_{2} = 2 a$ , $B_{1} B_{2} = 2 b$ .

b) Do M thuộc (E) nên ta có $\frac{x_{o}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{o}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Do $a > b > 0$ nên ta có $\frac{x_{o}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{x_{o}^{2}}{b^{2}}$ . Suy ra $1 \leq \frac{x_{o}^{2}}{b^{2}} + \frac{y_{o}^{2}}{b^{2}} \Rightarrow b^{2} \leq x_{o}^{2} + y_{o}^{2}$ .

Tương tự ta có $\frac{y_{o}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{y_{o}^{2}}{b^{2}}$ nên $1 \geq \frac{y_{o}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{y_{o}^{2}}{b^{2}} \Rightarrow a^{2} \geq x_{o}^{2} + y_{o}^{2}$ .

Vậy $b^{2} \leq x_{o}^{2} + y_{o}^{2} \leq a^{2}$ .

Ta có $O M = \sqrt{x_{o}^{2} + y_{o}^{2}}$ suy ra $b \leq O M \leq a$ .