Giải bài 7.36 trang 41

Cho tứ diện (OABC) có (OA = OB = OC = a)

Đề bài

Cho tứ diện $O A B C$ có $O A = O B = O C = a$ và $\hat{A O B} = 90^{\circ}$ ; $\hat{B O C} = 60^{\circ}$ ; $\hat{C O A} = 120^{\circ}$ . Tính theo $a$ thể tích khối tứ diện $O A B C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: $S = \frac{1}{3} B h$ .

Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy, $h$ là đường cao của hình chóp.

Bước 1: Xác định đường cao của hình chóp $O . A B C$ có cạnh bên bằng nhau. Chân đường cao là tâm của đáy. Tính chiều cao.

Bước 2: Tính diện tích đáy.

Bước 3: Tính thể tích khối tứ diện $V = \frac{1}{3} O H . S_{A B C}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $A B = a \sqrt{2}$ , $B C = a$ , $C A = a \sqrt{3}$ , tam giác $A B C$ vuông tại $B$ .

Kẻ $O H$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ tại $H$ .

Vì $O A = O B = O C$ nên $H A = H B = H C$ , hay $H$ là trung điểm của $A C$ .

Xét tam giác $O A H$ vuông tại $H$ , theo định lí Pythagore ta tính được: $O H = \frac{a}{2}$ .

Vậy $V_{O A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot O H = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .