Giải bài 7.36 trang 47

Cho điểm M(x0;y0) thuộc elip (E) có phương trình

Đề bài

Cho điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc elip $(E)$ có phương trình $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ .

a) Tính $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2}$ theo $x_{0}; y_{0}$ . Từ đó tính $M F_{1}$ , $M F_{2}$ theo $x_{0}; y_{0}$ .

b) Tìm điểm M sao cho $M F_{2} = 2 M F_{1}$ .

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai điểm $F_{1}$ , $F_{2}$ (tức là góc $\hat{F_{1} M F_{2}}$ ) là lớn nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình Elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ và có tiêu cự là $2 c$ với $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ .

Lời giải chi tiết

+ Trong phương trình chính tắc của $(E)$ ta có $a = \sqrt{2}, b = 1, c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 1$ và hai tiêu điểm $F_{1} (- 1; 0), F_{2} (1; 0)$ .

a) Ta có $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2}$

$= {(x_{0} + 1)}^{2} + {y_{0}}^{2} - [{(x_{0} + 1)}^{2} + {y_{0}}^{2}] = 4 x_{0}$ .

+ $M \in (E) \Rightarrow M F_{1} + M F_{2} = 2 a = 2 \sqrt{2}$ (1)

$\Rightarrow M F_{1} - M F_{2} = \frac{M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2}}{M {F_{1}}^{2} + M {F_{2}}^{2}} = \frac{4 x_{0}}{2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} x_{0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${\begin{cases} M F_{1} = \sqrt{2} + \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} \\ M F_{2} = \sqrt{2} - \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} \end{cases}$

b) Ta có: $M F_{2} = 2 M F_{1}$

$\Rightarrow \sqrt{2} - \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} = 2 (\sqrt{2} + \frac{x_{0}}{\sqrt{2}})$

$\Rightarrow \frac{3 x_{0}}{\sqrt{2}} = - \sqrt{2} \Rightarrow x_{0} = - \frac{2}{3}$ .

$M \in (E) \Rightarrow \frac{{x_{0}}^{2}}{2} + \frac{{y_{0}}^{2}}{1}$

$\Rightarrow {y_{0}}^{2} = 1 - \frac{{x_{0}}^{2}}{2} = 1 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{2} = \frac{7}{9}$

$\Rightarrow {\begin{cases} y_{0} = \frac{\sqrt{7}}{3} \\ y_{0} = - \frac{\sqrt{7}}{3} \end{cases}$

Vậy $M (- \frac{2}{3}; \frac{\sqrt{7}}{3})$ hoặc $M (- \frac{2}{3}; - \frac{\sqrt{7}}{3})$ .

c) Áp dụng định lý cosin trong tam giác $M F_{1} F_{2}$ :

$c o s \hat{F_{1} M F_{2}} = \frac{M {F_{1}}^{2} + M {F_{2}}^{2} - {F_{1}}^{2} {F_{2}}^{2}}{2 M F_{1} . M F_{2}}$

$= \frac{{(\sqrt{2} + \frac{x_{0}}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\sqrt{2} - \frac{x_{0}}{\sqrt{2}})}^{2} - 2^{2}}{2 (\sqrt{2} + \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}) (\sqrt{2} - \frac{x_{0}}{\sqrt{2}})} = \frac{{x_{0}}^{2}}{4 - {x_{0}}^{2}}$ .

+ Ta có: $\frac{{x_{0}}^{2}}{2} = 1 - {y_{0}}^{2} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq {x_{0}}^{2} \leq 2$

$\Rightarrow \cos \hat{F_{1} M F_{2}} \geq 0 \Rightarrow \hat{F_{1} M F_{2}} \leq 90^{\circ}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = \pm 1$ .