Giải bài 7.36 trang 59

Đề bài

Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

 a) Tìm các giao điểm $A_1,A_2$ của hypebol với trục hoành (hoành độ của $A_1$ nhỏ hơn của $A_2$).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x\le -a$, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì $x\ge a$.

c) Tìm các điểm $M_1,M_2$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trực tung của hypebol để $M_1{M}_2$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Các giao điểm của $\left(H\right)$ với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\pm a\\ y=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{A}_1\left(-a;0\right)\\ A_2\left(a;0\right)\end{array}$

b) Với $M\left(x;y\right)$ thuộc (H) ta có:

$\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1\Rightarrow x^2\ge a^2\Rightarrow [\begin{array}{c}x\le -a\\ x\ge a\end{array}$

Do đó nếu $M\left(x;y\right)$ thuộc bên trái trục tung khi thì $x<0$, suy ra $x\le -a$.

Nếu $M\left(x;y\right)$ thuộc bên phải trục tung khi thì $x>0$, suy ra $x\ge -a$.

c) Gọi $M_1\left(x_1;y_1\right),M_2\left(x_2;y_2\right)$. Vì $M_1$ thuộc nhánh bên trái trục tung nên ta có  $x_1\le -a$,$M_2$ thuộc nhánh bên phải trục tung nên ta có $x_2\ge a$.

Suy ra $M_1{M}_2=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

$\ge \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+(0-0{)}^2}=\left|x_2-x_1\right|$

$\ge \left|a-\left(-a\right)\right|=2a$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{array}{c}{y}_2-y_1=0\\ x_2=a\\ x_1=-a\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_2=a\\ x_1=-a\\ y_1=y_2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{M}_1\left(-a;0\right)\\ M_2\left(a;0\right)\end{array}$