Giải bài 7.37 trang 41

Cho hình chóp có đáy (ABCD) là hình thoi tâm (O), biết (SO bot left( {ABCD} right))

Đề bài

Cho hình chóp có đáy $A B C D$ là hình thoi tâm $O$ , biết $S O ⊥ (A B C D)$ , $A C = 2 a \sqrt{3}, B D = 2 a$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S . A B C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: $S = \frac{1}{3} B h$ .

Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy, h là đường cao của hình chóp.

Bước 1: Tính chiều cao $S O$ của hình chóp.

Phân tích: $d (A, (S B C)) = 2 \cdot d (O, (S B C)) \Rightarrow d (O, (S B C))$ .

Dựng hình:

Khoảng cách từ $d (O, (S B C)) = O H$ .

Xét tam giác $S O M$ vuông tại $O$ , đường cao $O H$ nên $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O M^{2}} + \frac{1}{O S^{2}}$ , suy ra $S O$ .

Bước 2: Tính diện tích đáy $A B C D$ .

Bước 3: Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ : $V_{S \cdot A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O$ .

Lời giải chi tiết

Kẻ $O M$ vuông góc với $B C$ tại $M, O H$ vuông góc với $S M$ tại $H$ , ta chứng minh được $O H ⊥ (S B C)$ . Vì $O$ là trung điểm của $A C$ nên $d (A, (S B C)) = 2 \cdot d (O, (S B C)) = 2 \cdot O H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , suy ra $O H = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Tam giác $O B C$ vuông tại $O$ , có $O B = a, O C = a \sqrt{3}$ và đường cao $O M$ nên $O M = \frac{O B \cdot O C}{B C} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Tam giác $S O M$ vuông tại $O$ , đường cao $O H$ nên $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O M^{2}} + \frac{1}{O S^{2}}$ , suy ra $S O = \frac{a}{2}$ .

Vậy $V_{S \cdot A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 a \sqrt{3} \cdot 2 a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .