Giải bài 7.38 trang 41

Cho hình chóp (S.ABC) có (SA bot left( {ABC} right),SA = a)

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C), S A = a$ và đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ , $A B = a$ , $A C = a \sqrt{3}$ . Kẻ $A M$ vuông góc với $S B$ tại $M$ , $A N$ vuông góc với $S C$ tại $N$ . Tính theo a thể tích khối chóp $S . A M N$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: $S = \frac{1}{3} B h$ .

Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy, h là đường cao của hình chóp.

Áp dụng tỉ số thể tích $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C}$ .

Bước 1: Tính thể tích khối $S . A B C$ .

Bước 2: Tìm tỉ số $\frac{S M}{S B}; \frac{S N}{S C}$ .

Bước 3: Lập tỉ số thể tích $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C}$ từ đó suy ra thể tích khối $S . A M N$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ , tam giác $S A B$ vuông cân tại $A$ nên $\frac{S M}{S B} = \frac{1}{2}$ ;

tam giác $S A C$ vuông tại $A$ , đường cao $A N$ nên $\frac{S N}{S C} = \frac{S N \cdot S C}{S C^{2}} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{1}{4}$ .

Do đó $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C} = \frac{1}{8}$ , suy ra:

$V_{S . A M N} = \frac{1}{8} \cdot V_{S . A B C} = \frac{1}{8} \cdot \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{48}$