Giải bài 7.39 trang 41

Cho hình chóp S.ABCS.ABCS.ABC có SA⊥(ABC)SA⊥(ABC)SA \bot \left( {ABC} \right) và ˆBAC=60∘BAC^=60∘\widehat {BAC} = {60^ \circ }

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C)$ và $\hat{B A C} = 60^{\circ}$ , biết diện tích các tam giác $A B C, S A B$ và $S A C$ lần lượt là $3 \sqrt{3}; 9; 12$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: $S = \frac{1}{3} B h$ .

Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy

h là đường cao của hình chóp

Bước 1:

Đặt $S A = a, A B = b, A C = c$ .

Khi đó $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S A = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot b c \cdot s i n 60^{\circ} \cdot a = \frac{a b c \sqrt{3}}{12}$

Bước 2:

Theo đề bài, ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} b c \cdot s i n 60^{\circ} = 3 \sqrt{3}$ , suy ra $b c$ .

$S_{S A B} = \frac{a b}{2} = 9$ , suy ra $a b =$ ,

$S_{S A C} = \frac{a c}{2}$ suy ra $a c$ .

Nhân $a b . b c . c a = {(a b c)}^{2} \Rightarrow a b c \Rightarrow V_{S . A B C}$

Lời giải chi tiết

Đặt $S A = a, A B = b, A C = c$ .

Khi đó $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S A = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot b c \cdot s i n 60^{\circ} \cdot a = \frac{a b c \sqrt{3}}{12}$

Theo đề bài, ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} b c \cdot s i n 60^{\circ} = 3 \sqrt{3}$ , suy ra $b c = 12$ .

$S_{S A B} = \frac{a b}{2} = 9$ , suy ra $a b = 18; S_{S A C} = \frac{a c}{2} = 12$ , suy ra $a c = 24$ .

Do đó $(a b c)^{2} = 12 \cdot 18 \cdot 24 = 72^{2}$ , hay $a b c = 72$ .

Vậy $V_{S . A B C} = 6 \sqrt{3}$ .