Giải bài 7.4 trang 26

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông tâm $O$ và tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng a. Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $S A, A B$ .

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: $M N$ và $S D; M O$ và $S B$ .

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng $S N$ và $B C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Từ $O$ dựng các đường thẳng $d_{1}^{'}, d_{2}^{'}$ lần lượt song song có thể trùng nếu $O$ nằm trên một trong hai đường thẳngvới $d_{1}$ và $d_{2}$ . Góc giữa hai đường thẳng $d_{1}^{'}, d_{2}^{'}$ chính là góc giữa hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ .

Lưu ý :

Áp dụng định lý Pytago đảo để chứng minh tam giác vuông

Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác

Áp dụng tính chất ${\begin{matrix} a / / b a ⊥ c \end{matrix} \Rightarrow b ⊥ c$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $B D^{2} = S B^{2} + S D^{2} = 2 a^{2}$ nên $Δ S B D$ vuông tại $S$ , mà $M N / / S B$ , suy ra $(M N, S D) = (S B, S D) = 90^{\circ}$ .

Với O là giao điểm của $A C$ và $B D$ thì $M O / / S C$ .

Khi đó $(M O, S B) = (S C, S B) = ˆ B S C = 60^{\circ}$ .

b) Vì $O N / / B C$ nên $(S N, B C) = (S N, O N) = ˆ S N O$ .

Ta có $S O = \frac{a \sqrt{2}}{2}; O N = \frac{a}{2}$ và tam giác $S N O$ vuông tại O nên $t a n ˆ S N O = \frac{S O}{O N} = \sqrt{2}$ .

Vậy $t a n (S N, B C) = \sqrt{2}$ .