Giải bài 7.44 trang 42

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD$ABCD$ có cạnh bằng a$a$, côsin của góc giữa đường thẳng AB$AB$ và mặt phẳng (BCD)$\left(BCD\right)$ bằng

A. 13$\frac{1}{3}$.

B. √33$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

C. √32$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

D. 12$\frac{1}{2}$.

Lời giải chi tiết

Gọi M$M$là trung điểmcủa CD,O$CD,O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCD$BCD$ ⇒ AO⊥(BCD)$AO\perp \left(BCD\right)$.

Khi đó OB$OB$là hình chiếu vuông góc của AB$AB$ lên (BCD)$\left(BCD\right)$.

⇒(AB;(BCD))=(AB;OB)=^ABO$\Rightarrow (AB;(BCD\left)\right)=(AB;OB)=\widehat{ABO}$.

Tam giác BCD$BCD$ đều cạnh a nên BM=a√32⇒BO=2BM3=a√33$BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BO=\frac{2BM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ta có AO⊥(BCD)$AO\perp \left(BCD\right)$ nên AO⊥OB$AO\perp OB$, suy ra ΔABO$\Delta ABO$ vuông tại O$O$.

⇒ cos^ABO=OBAB=√33$cos\widehat{ABO}=\frac{OB}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy cos(AB,(BCD))=√33$\cos (AB,(BCD\left)\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.