Giải bài 7.45 trang 42

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$, côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left(ACD\right)$ và $\left(BCD\right)$ bằng

A. $\frac{2}{3}$.

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left(ACD\right)\cap \left(BCD\right)=CD$.

Gọi $M$ là trung điểm $CD$.

Khi đó dễ dàng chứng minh được $BM\perp CD$ và $AM\perp CD$.

$\Rightarrow \left(\left(ACD\right),\left(BCD\right)\right)=\left(AM,BM\right)$.

Ta dễ tính được: $AM=BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Áp dụng hệ quả của định lý cô sin trong tam giác $ABM$ ta có:

$\cos \widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+B{M}^2-A{B}^2}{2.AM.BM}=\frac{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-a^2}{2.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{3a^2}{2}}=\frac{1}{3}$.