Giải bài 7.46 trang 42

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Khoản cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$ bằng

A. $\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

B. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

D. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Lời giải chi tiết

Tính khoảng cách từ $O$ tới $mp\left(SBC\right)$:

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$.

Theo giả thiết $SO\perp \left(ABCD\right)\supset BC$.

$\Rightarrow$ $\{\begin{array}{c}BC\perp SO\subset \left(SOE\right)\\ BC\perp OE\subset \left(SOE\right)\\ OE\cap SO=O\end{array}$ $\Rightarrow$ $BC\perp \left(SOE\right)$ mà $BC\subset \left(SBC\right)$$\Rightarrow$ $\left(SBC\right)\perp \left(SOE\right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $SE$$\Rightarrow OH\perp SE=\left(SBC\right)\cap \left(SOE\right)$, suy ra $OH\perp \left(SBC\right)$ nên $d\left(O,\left(SBC\right)\right)=OH$.

Ta có $SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Trong $\Delta SOE$ vuông tại $O$, ta có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{E}^2}+\frac{1}{O{S}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{6}{a^2}$ $\Rightarrow$ $OH=\frac{a}{\sqrt{6}}$

$\Rightarrow$$d\left(O,\left(SCD\right)\right)=OH=\frac{a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.