Giải bài 7.48 trang 42

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BB’ bằng.

Đề bài

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BB’ bằng.

A. $\frac{a \sqrt{7}}{2}$ .

B. $\frac{a \sqrt{14}}{4}$ .

C. $\frac{a \sqrt{7}}{4}$ .

D. $\frac{a \sqrt{14}}{2}$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $M$ là trung điểm $B C$ .

$B^{'} C \cap B C^{'} = K$ .

$H$ là trung điểm $K C$ .

Do tứ giác $B C C^{'} B^{'}$ là hình vuông suy ra $B^{'} C ⊥ B C^{'}; H M ⊥ B^{'} C (1)$

Dễ thấy $A M ⊥ (B C C^{'} B^{'}) \Rightarrow A M ⊥ B^{'} C (2)$

Từ $(1); (2) \Rightarrow (A M H) ⊥ B^{'} C \Rightarrow A H ⊥ B^{'} C$ .

Từ đó suy ra khoảng cách từ điểm đến đường thẳng $B^{'} C$ bằng $A H$ .

Ta có $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}; H M = \frac{B K}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ .

Xét tam giác $A M H$ vuông tại $M$ ta có $A H = \sqrt{A M^{2} + H M^{2}} = \frac{a \sqrt{14}}{4}$ .

Vậy, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng $B^{'} C$ bằng $\frac{a \sqrt{14}}{4}$ .