Giải bài 7.51 trang 43

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và (SC = asqrt 2 ).

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và $S C = a \sqrt{2}$ . Gọi H là trung điểm cạnh AB.

a) Chứng minh rằng $S H ⊥ (A B C D)$ .

b) Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S . A B C D$ .

c) Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(S B D)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính khoảng cách từ H đên (SBD), sau đó suy ra khoảng cách từ A đến (SBD)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , $H C = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Suy ra $S H^{2} + H C^{2} = S C^{2}$ .

Do đó tam giác SHC vuông tại H.

Hay $S H ⊥ H C$ , lại có $S H ⊥ A B$ .

Nên $S H ⊥ (A B C D)$ .

b) Ta có $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}, S_{A B C D} = a^{2}$

Suy ra $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S H = \frac{1}{3} . a^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

c) Vì H là trung điểm của AB nên d(A, (SBD)) = 2.d(H, (SBD)). Kẻ HK vuông góc với BD tại K, HQ vuông góc với SK tại Q. Khi đó $H Q ⊥ (S B D)$ suy ra d(H, (SBD)) = HQ.

ta tính được $H K = \frac{A C}{4} = \frac{a \sqrt{2}}{4}, S H = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ mà tam giác SHK vuông tại H, đường cao HQ nên $\frac{1}{H Q^{2}} = \frac{1}{H K^{2}} + \frac{1}{H S^{2}}$ suy ra $H Q = \frac{a \sqrt{21}}{24}$ , do đó d(A,(SBD))= $H Q = \frac{a \sqrt{21}}{7}$ .