Giải bài 7.52 trang 43
Cho hình chóp S.ABCD có (SA bot (ABCD)) biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và (SA = asqrt 2 )
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD)SA⊥(ABCD) biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA=a√2SA=a√2.
a) Chứng minh rằng(SAC)⊥(SBD)(SAC)⊥(SBD) và (SAD)⊥(SCD)(SAD)⊥(SCD).
b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh (ACF)⊥(SBC)(ACF)⊥(SBC) và (AEF)⊥(SAC)(AEF)⊥(SAC).
c) Tính theo a khoản cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh BD⊥(SAC)BD⊥(SAC) từ đó suy ra (SBD)⊥(SAC)(SBD)⊥(SAC).
b) Chứng minh AF⊥(SBC)AF⊥(SBC) từ đó suy ra (ACF)⊥(SBC)(ACF)⊥(SBC).
Chứng minh SC⊥(AEF)SC⊥(AEF) suy ra (AEF)⊥(SAC)(AEF)⊥(SAC).
c) Dựng đoạn vuông góc chung của BDBD và SCSC.
Tính độ dài đoạn vuông góc chung của BDBD và SCSC.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: BD⊥AC,SA⊥(ABCD)BD⊥AC,SA⊥(ABCD) nên SA⊥BDSA⊥BD, suy ra BD⊥(SAC)BD⊥(SAC), mà mặt phẳng (SBD)(SBD) chứa đường thẳng BDBD, do đó (SBD)⊥(SAC)(SBD)⊥(SAC).
Ta có: CD⊥AD,CD⊥SACD⊥AD,CD⊥SA, suy ra CD⊥(SAD)CD⊥(SAD), mà mặt phẳng (SCD)(SCD) chứa đường thẳng CDCD, do đó (SCD)⊥(SAD)(SCD)⊥(SAD).
b) Ta có: AD⊥(SAB)AD⊥(SAB) nên AD⊥SBAD⊥SB, mà SB⊥DFSB⊥DF suy ra SB⊥(ADF)SB⊥(ADF), do đó SB⊥AFSB⊥AF.
Ta lại có BC⊥(SAB)BC⊥(SAB) nên BC⊥AFBC⊥AF, suy ra AF⊥(SBC)AF⊥(SBC), mà mặt phẳng (ACF)(ACF) chứa đường thẳng AFAF nên (ACF)⊥(SBC)(ACF)⊥(SBC).
Vì AF⊥(SBC)AF⊥(SBC) nên AF⊥SCAF⊥SC.
Tương tự, ta có AE⊥(SCD)AE⊥(SCD) nên AE⊥SCAE⊥SC, suy ra SC⊥(AEF)SC⊥(AEF), mà mặt phẳng (SAC)(SAC) chứa đường thẳng SCSC nên (AEF)⊥(SAC)(AEF)⊥(SAC).
c) Gọi OO là giao điểm của ACAC và BDBD, kẻ OH⊥SCOH⊥SC tại HH, mà BD⊥(SAC)BD⊥(SAC) nên OH⊥BDOH⊥BD, suy ra OHOH là đoạn vuông góc chung của BDBD và SCSC, hay d(BD,SC)=OHd(BD,SC)=OH.
Ta có: ΔCHOΔCHO đồng dạng với ΔCASΔCAS nên OCCS=OHASOCCS=OHAS, suy ra OH=AS⋅OCCS=a2OH=AS⋅OCCS=a2.
Vậy d(BD,SC)=a2d(BD,SC)=a2.