Giải bài 7.53 trang 43

Cho hình chóp tứ giác đều (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông cạnh bằng (a)

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , cạnh bên $S A = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ . Gọi $S M, S N$ lần lượt là đường cao của tam giác $S A D$ và tam giác $S B C$ .

a) Chứng minh rằng $(S M N) ⊥ (A B C D)$ .

b) Tính số đo của góc nhị diện $[S, A D, B]$ .

c) Tính theo a thể tích khối chóp $S . A B C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh rằng $(S M N) ⊥ (A B C D)$ .

Chứng minh mặt phẳng $(A B C D)$ chứa $B C ⊥$ $(S M N)$ .

b) Tính số đo của góc nhị diện $[S, A D, B]$ .

Xác định được $[S, A D, B] = \hat{S M O}$ .
Tính $\hat{S M O}$ .

c) Tính theo a thể tích khối chóp $S . A B C D$ .

Gọi $O = A C \cap B D$ .
Tính chiều cao $S O, S_{A B C D}$ .
Tính thể tích khối chóp $S . A B C D = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D}$ .

Lời giải chi tiết

a) Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ .

Ta có: $A D ⊥ S M, A D / / B C$ nên $B C ⊥ S M$ , mà $B C ⊥ S N$ , suy ra $B C ⊥ (S M N)$ .

Do đó $(S M N) ⊥ (A B C D)$ .

b) Vì $M N$ đi qua $O$ và $O M ⊥ A D, S M ⊥ A D$ nên $[S, A D, B] = \hat{S M O}$ , ta tính được $S M = S N = M N = a$ .

Do đó tam giác $S M N$ đều, suy ra $\hat{S M N} = 60^{\circ}$ .

Vậy $[S, A D, B] = 60^{\circ}$ .

c) Ta có: $S O = \frac{a \sqrt{3}}{2}, S_{A B C D} = a^{2}$ , suy ra $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .