Giải bài 7.54 trang 43

Cho hình lăng trụ đứng ABC⋅A′B′C′ABC⋅A′B′C′ABC \cdot A'B'C' có ˆBAC=60∘,AB=2a,AC=3aBAC^=60∘,AB=2a,AC=3a\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a v

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ có $\hat{B A C} = 60^{\circ}, A B = 2 a, A C = 3 a$ và số đo của góc nhị diện $[A^{'}, B C, A]$ bằng $45^{\circ}$ .

a) Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A^{'} B C)$ .

b) Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A^{'} B C)$ .

Dựng $A H$ vuông góc với $B C$ tại $H, A K$ vuông góc với $A^{'} H$ tại $K$
Chứng minh $A K ⊥ (A^{'} B C)$ , suy ra $A^{'} H ⊥ B C$ .
Góc nhị diện $[A^{'}, B C, A]$ bằng $\hat{A H A^{'}}$ , suy ra $\hat{A H A^{'}} = 45^{\circ}$ suy ra tam giác $A H A^{'}$ vuông cân.
Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác $A B C$ tính $B C$ .
$A H = \frac{2. S_{A B C}}{B C} = \frac{A B . A C . s i n \hat{B A C}}{B C}$ .
$A K = \frac{1}{2} A^{'} H$ .

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ .

$V_{A B C, A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} \cdot A A^{'}$

Lời giải chi tiết

a) Kẻ $A H$ vuông góc với $B C$ tại $H, A K$ vuông góc với $A^{'} H$ tại $K$ thì $A K ⊥ (A^{'} B C)$ , suy ra $A^{'} H ⊥ B C$ .

Góc nhị diện $[A^{'}, B C, A]$ bằng $\hat{A H A^{'}}$ , suy ra $\hat{A H A^{'}} = 45^{\circ}$ .

Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác $A B C$ , ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B . A C . c o s \hat{B A C} = 7 a^{2}$ , suy ra $B C = a \sqrt{7}$ .

Do đó $A H = \frac{2. S_{A B C}}{B C} = \frac{A B . A C . s i n \hat{B A C}}{B C} = \frac{3 \sqrt{21}}{7} a$ .

Vì tam giác $A H A^{'}$ vuông cân tại $A$ nên $A K = \frac{A^{'} H}{2} = \frac{A H \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{42}}{14} a$ .

Vậy $d (A, (A^{'} B C)) = \frac{3 \sqrt{42}}{14} a$ .

b) Thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ là $V_{A B C, A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} \cdot A A^{'} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot s i n 60^{\circ} \cdot A A^{'} = \frac{27 \sqrt{7}}{14} a^{3}$