Giải bài 7.55 trang 43
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng aaa. Gọi M,NM,NM,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,ADAB,ADAB,AD.
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng aa. Gọi M,NM,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,ADAB,AD.
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A′B′D′AMN.A′B′D′.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MNMN và A′BA′B.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A′B′D′AMN.A′B′D′.
Áp dụng công thức V=13⋅AA′⋅(SAMN+SA′B′D′+√SAMN⋅SA′B′D′)V=13⋅AA′⋅(SAMN+SA′B′D′+√SAMN⋅SA′B′D′)
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MNMN và A′BA′B.
- Tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song song với đường thẳng còn lại: MN//(A′BD)MN//(A′BD)
- d(MN,A′B)=d(MN,(A′BD))=d(M,(A′BD))=12d(A,(A′BD))
- Đặt h=d(A,(A′BD)) thì 1h2=1AB2+1AD2+1AA′2⇒ h⇒d(MN,A′B)=d(MN,(A′BD))=d(M,(A′BD))=12d(A,(A′BD))
Vậy d(MN,A′B)=d(M,(A′BD))=a√36.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
SA′B′D′=a22;SAMN=a28;SABCD=a2;AA′=a, suy ra thể tích khối chóp cụt AMN⋅A′B′D′ là:
V=13⋅AA′⋅(SAMN+SA′B′D′+√SAMN⋅SA′B′D′)
=13⋅a⋅(a28+a22+√a28⋅a22)=7a324.
b) Vì MN//BD nên MN//(A′BD), do đó:
d(MN,A′B)=d(MN,(A′BD))=d(M,(A′BD)).
Vì M là trung điểm của AB nên d(M,(A′BD))=12d(A,(A′BD)).
Đặt h=d(A,(A′BD)) thì 1h2=1AB2+1AD2+1AA′2=3a2, suy ra h=a√33.
Vậy d(MN,A′B)=d(M,(A′BD))=a√36.