Giải bài 7.55 trang 43
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng aa. Gọi M,NM,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,ADAB,AD.
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A′B′D′AMN.A′B′D′.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MNMN và A′BA′B.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A′B′D′AMN.A′B′D′.
Áp dụng công thức V=13⋅AA′⋅(SAMN+SA′B′D′+√SAMN⋅SA′B′D′)V=13⋅AA′⋅(SAMN+SA′B′D′+√SAMN⋅SA′B′D′)
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MNMN và A′BA′B.
- Tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song song với đường thẳng còn lại: MN//(A′BD)MN//(A′BD)
- d(MN,A′B)=d(MN,(A′BD))=d(M,(A′BD))=12d(A,(A′BD))
- Đặt h=d(A,(A′BD)) thì 1h2=1AB2+1AD2+1AA′2⇒ h⇒d(MN,A′B)=d(MN,(A′BD))=d(M,(A′BD))=12d(A,(A′BD))
Vậy d(MN,A′B)=d(M,(A′BD))=a√36.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
SA′B′D′=a22;SAMN=a28;SABCD=a2;AA′=a, suy ra thể tích khối chóp cụt AMN⋅A′B′D′ là:
V=13⋅AA′⋅(SAMN+SA′B′D′+√SAMN⋅SA′B′D′)
=13⋅a⋅(a28+a22+√a28⋅a22)=7a324.
b) Vì MN//BD nên MN//(A′BD), do đó:
d(MN,A′B)=d(MN,(A′BD))=d(M,(A′BD)).
Vì M là trung điểm của AB nên d(M,(A′BD))=12d(A,(A′BD)).
Đặt h=d(A,(A′BD)) thì 1h2=1AB2+1AD2+1AA′2=3a2, suy ra h=a√33.
Vậy d(MN,A′B)=d(M,(A′BD))=a√36.