Giải bài 7.55 trang 49

Đề bài

Cho tam giác ABC với $A (1; - 1), B (3; 5), C (- 2; 4)$ .

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Phương trình tham số của AB đi qua A và có vecto chỉ phương là $\vec{A B}$ .

+ Phương trình đường cao AH đi qua A và có vecto pháp tuyến là $\vec{B C}$ .

+ Khoảng cách từ 1 điểm $A (x_{0}; y_{0})$ đến đường thẳng $d : a x + b y + c = 0$ là:

$d (A, d) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

+ $(a; b)$ và $(c; d)$ cùng là vecto pháp tuyến hoặc chỉ phương của hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ . Góc giữa hai đường thẳng này được tính qua công thức:

$\cos φ = \frac{| a c + b d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{c^{2} + d^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tham số của AB đi qua A và có vecto chỉ phương là $\vec{A B} = (2; 6) = 2 (1; 3)$ .

Phương trình tham số của AB đi qua $A (1; - 1)$ và có vecto chỉ phương là $(1; 3)$ là : ${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 - 3 t \end{cases}$

b) Phương trình đường cao AH đi qua A và có vecto pháp tuyến là $\vec{B C} = (- 5; - 1)$ là:

$5 (x - 1) + 1 (y + 1) = 0 \Rightarrow 5 x + y - 4 = 0$ .

c) $\vec{B C} = (- 5; - 1) \Rightarrow \vec{n_{B C}} = (1; - 5)$

$\Rightarrow B C : 1 (x - 3) - 5 (y - 5) = 0$

$\Rightarrow B C : x - 5 y + 22 = 0$ .

$d (A, B C) = \frac{| 1 - 5 (- 1) + 22 |}{\sqrt{1^{2} + 5^{2}}} = \frac{28}{\sqrt{26}} = \frac{14 \sqrt{26}}{13}$ .

d) $\vec{A B} = (2; 6), \vec{A C} = (- 3; 5)$ .

$\Rightarrow \cos (A B, A C) = \frac{| 2. (- 3) + 6.5 |}{\sqrt{2^{2} + 6^{2}} . \sqrt{{(- 3)}^{2} + 5^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{85}}$ .

$\Rightarrow \sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} = \frac{7}{\sqrt{85}}$ .