Giải bài 7.7 trang 28

Cho tứ diện (OABC) có ba cạnh (OA,OB,OC) đôi một vuông góc với nhau.

Đề bài

Cho tứ diện $O A B C$ có ba cạnh $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ đến mặt phẳng $(A B C)$ . Chứng minh rằng:

a) $B C ⊥ (O A H)$ ;

b) $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ ;

c) $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lý sau:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

${\begin{cases} a ⊥ (α) \\ b \subset α \end{cases} \Rightarrow a ⊥ b$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

a) Chứng minh $O A ⊥ B C$ , $O H ⊥ B C$ .

b) Chứng minh $B C ⊥ A H$ , $C A ⊥ B H$ suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ .

+ Gọi $K$ là giao điểm của $A H$ và $B C$ .

+ Chứng minh $O K$ là đường cao của tam giác vuông $O B C$ và $O H$ là đường cao của tam giác vuông $O A K$ .

+ Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông $O B C$ và $O A K$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì $O A ⊥ O B, O A ⊥ O C \Rightarrow O A ⊥ (O B C)$ , suy ra $O A ⊥ B C$ .

Vì $O H ⊥ (A B C)$ nên $O H ⊥ B C$ , suy ra $B C ⊥ (O A H)$ .

b) Vì $B C ⊥ (O A H)$ nên $B C ⊥ A H$ .

Tương tự, $C A ⊥ B H$ , do đó $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ .

c) Gọi $K$ là giao điểm của $A H$ và $B C$ .

Ta có: $O K ⊥ B C$ và $O A ⊥ O K$ nên $O K$ là đường cao của tam giác vuông $O B C$ và $O H$ là đường cao của tam giác vuông $O A K$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông $O B C$ và $O A K$ , ta có: $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O K^{2}}$ và $\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ .

Từ đó suy ra: $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ .