Giải bài 7.8 trang 41

Đề bài

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $Δ_{1} : \sqrt{3} x + y - 4 = 0$ và $Δ_{2} : x + \sqrt{3} y + 3 = 0$ .

b) $d_{1} : {\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 3 + 4 t \end{cases}$ và $d_{2} : {\begin{cases} x = 3 + s \\ y = 1 - 3 s \end{cases}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hai đường thẳng $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ , $Δ_{2} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ .

Bước 1: Xác định VTPT $\vec{n_{1}} (a_{1}, b_{1})$ và $\vec{n_{2}} (a_{2}, b_{2})$ (hoặc 2 VTCP) tương ứng.

Bước 2: Tính $\cos φ = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Từ đó suy ra $φ$ , là góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{n_{1}} = (\sqrt{3}; 1)$ , $\vec{n_{2}} = (1; \sqrt{3})$ .

Suy ra: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}) |$

$= \frac{| \sqrt{3} .1 + 1. \sqrt{3} |}{\sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\Rightarrow (Δ_{1}, Δ_{2}) = 30^{o}$ .

b) Ta có: $\vec{u_{1}} = (2; 4)$ , $\vec{u_{2}} = (1; - 3)$

Suy ra: $\cos (d_{1}, d_{2}) = | \cos (\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}) |$

$= \frac{| 2.1 + 4. (- 3) |}{\sqrt{2^{2} + 4^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\Rightarrow (Δ_{1}, Δ_{2}) = 45^{o}$ .