Giải bài 7 trang 10

Chứng minh rằng a) 2x2+√3x+1>02x2+3x+1>02{x^2} + \sqrt 3 x + 1 > 0 với mọi x∈Rx∈Rx \in \mathbb{R} b) x2+x+14≥0x2+x+14≥0{x^2} + x + \frac{1}{4} \ge 0 với mọi x∈Rx∈Rx \in \mathbb{R} c) −x2<−2x+3−x2<−2x+3 - {x^2} < - 2x + 3 với mọi x∈Rx∈Rx \in \mathbb{R}

Đề bài

Chứng minh rằng

a) $2 x^{2} + \sqrt{3} x + 1 > 0$ với mọi $x \in R$

b) $x^{2} + x + \frac{1}{4} \geq 0$ với mọi $x \in R$

c) $- x^{2} < - 2 x + 3$ với mọi $x \in R$

Lời giải chi tiết

a) Tam thức $2 x^{2} + \sqrt{3} x + 1$ có $Δ = {(\sqrt{3})}^{2} - 4.2 = - 5 < 0$ và $a = 2 > 0$

Suy ra $2 x^{2} + \sqrt{3} x + 1 > 0 \forall x \in R$ (đpcm)

b) Tam thức $x^{2} + x + \frac{1}{4}$ có $Δ = 1^{2} - 4. \frac{1}{4} = 0$ , có nghiệm kép $x = - \frac{1}{2}$ và $a = 1 > 0$

Suy ra $x^{2} + x + \frac{1}{4} \geq 0$ với mọi $x \in R$ (đpcm)

c) $- x^{2} < - 2 x + 3$ với mọi $x \in R$ $\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 > 0$ với mọi $x \in R$

Xét tam thức $x^{2} - 2 x + 3$ ta có $Δ = {(- 2)}^{2} - 4.3 = - 8 < 0$ và $a = 1 > 0$

Suy ra $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ với mọi $x \in R$ $\Leftrightarrow - x^{2} < - 2 x + 3$ (đpcm)