Giải bài 7 trang 11

Đề bài

Chứng minh rằng

a) $\tan x>x$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$;

b) $\ln x\le x-1$ với mọi $x>0$.

Lời giải chi tiết

a) Đặt $f\left(x\right)=\tan x-x$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1=\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\tan }^{2}x>0$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Bảng biến thiên:

Do đó $f^{\prime }\left(x\right)>f\left(0\right)=0$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Suy ra $\tan x-x>0$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Vậy $\tan x>x$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

b) Đặt $f\left(x\right)=\ln x-x+1$ với mọi $x>0$.

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x};f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=1$.

Bảng biến thiên:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;1\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$.

Do đó $f\left(x\right)\le f\left(1\right)=0$ với mọi $x>0$.

Suy ra $\ln x-x+1\le 0$ với mọi $x>0$.

Vậy $\ln x\le x-1$ với mọi $x>0$.