Giải bài 7 trang 17

Đề bài

Cho $a$ và $b$ là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^4+b^4$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $a+b=4\iff b=4-a$.

Do $a,b$ không âm nên ta có: $\{\begin{array}{c}a\ge 0\\ b=4-a\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a\ge 0\\ a\le 4\end{array}\iff 0\le a\le 4$.

Ta có: $a^4+b^4=a^4+{\left(4-a\right)}^4$.

Đặt $f\left(a\right)=a^4+{\left(4-a\right)}^4$

Xét hàm số $f\left(a\right)=a^4+{\left(4-a\right)}^4$ trên đoạn $\left[0;4\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(a\right)=4a^3-4{\left(4-a\right)}^3$

$f^{\prime }\left(a\right)=0\iff a^3={\left(4-a\right)}^3\iff a=4-a\iff a=2$.

$f\left(0\right)=256;f\left(2\right)=32;f\left(4\right)=256$

Vậy $\underset{\left[0;4\right]}{min}f\left(a\right)=f\left(2\right)=32$.

Vậy $min\left(a^4+b^4\right)=32\iff a=2$ và $b=2$.