Giải bài 7 trang 21

Cho (D) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = 2{x^3}), trục hoành và hai đường thẳng (x = - 1,x = 1). a) Tính diện tích của (D). b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục (Ox).

Đề bài

Cho $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = 2 x^{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1, x = 1$ .

a) Tính diện tích của $D$ .

b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $O x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ là: $S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ .

‒ Sử dụng công thức: Tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quay quanh trục $O x$ là: $V = π \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x$ .

Lời giải chi tiết

a) $S = \int_{- 1}^{1} | 2 x^{3} | d x = \int_{- 1}^{0} | 2 x^{3} | d x + \int_{0}^{1} | 2 x^{3} | d x = | \int_{- 1}^{0} 2 x^{3} d x | + | \int_{0}^{1} 2 x^{3} d x | = | {\frac{x^{4}}{2} |}_{- 1}^{0} | + | {\frac{x^{4}}{2} |}_{0}^{1} | = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

b) $V = π \int_{- 1}^{1} {(2 x^{3})}^{2} d x = π \int_{- 1}^{1} 4 x^{6} d x = {4 π . \frac{x^{7}}{7} |}_{- 1}^{1} = \frac{8 π}{7}$ .