Giải bài 7 trang 26

Đề bài

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ và thoả mãn

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[3\cos x+2f^{\prime }\left(x\right)\right]dx=-5;f\left(0\right)=1$.

Tính giá trị $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$-5=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[3\cos x+2f^{\prime }\left(x\right)\right]dx=3\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xdx+2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)dx=3+2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)dx$

Vậy $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)dx=-4$.

Mặt khác: $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(\frac{\pi }{2}\right)-f\left(0\right)$.

Do đó$f\left(\frac{\pi }{2}\right)-f\left(0\right)=-4\iff f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(0\right)-4=1-4=-3$.