Giải bài 7 trang 32

Đề bài

Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hàng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi $T_{n} (n \geq 1)$ là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ $n + 1$ .

a) Tính $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ .

b) Dự đoán công thức tính $T_{n}$ và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Gợi ý: Lưu ý công thức ở Thực hành 4.

Lời giải chi tiết

a) $T_{1}$ là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2, do đó: $T_{1} = a + a . r + a = a ((1 + r) + 1)$

$T_{2} = T_{1} (1 + r) + a = a ((1 + r) + 1) (r + 1) + a = a ({(1 + r)}^{2} + (1 + r) + 1)$

$T_{3} = T_{2} (1 + r) + a = a ({(1 + r)}^{2} + (1 + r) + 1) (r + 1) + a = a ({(1 + r)}^{3} + {(1 + r)}^{2} + (1 + r) + 1)$

b) Từ a) ta dự đoán rằng

$T_{n} = a ({(1 + r)}^{n} + {(1 + r)}^{n - 1} + . . . + (1 + r) + 1) = a . \frac{1 - {(1 + r)}^{n + 1}}{1 - (1 + r)} = a . \frac{1 - {(1 + r)}^{n + 1}}{r}$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có $T_{1} = a ((1 + r) + 1)$

Như vậy công thức đúng cho trường hợp $n = 1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$ , nghĩa là có:

$T_{k} = a ({(1 + r)}^{k} + {(1 + r)}^{k - 1} + . . . + (1 + r) + 1)$

Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n = k + 1$ , nghĩa là cần chứng minh

$T_{k + 1} = a ({(1 + r)}^{k + 1} + {(1 + r)}^{k} + {(1 + r)}^{k - 1} + . . . + (1 + r) + 1)$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

$\begin{matrix} T_{k + 1} = T_{k} (1 + r) + a = a ({(1 + r)}^{k} + {(1 + r)}^{k - 1} + . . . + (1 + r) + 1) (1 + r) + a = a ({(1 + r)}^{k + 1} + {(1 + r)}^{k} + {(1 + r)}^{k - 1} + . . . + (1 + r) + 1) \end{matrix}$

Vậy công thức đúng với $n = k + 1$ .

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất công thức đúng với mọi $n \in N *$ .