Giải bài 7 trang 36

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)a2+b2+c2<2(ab+bc+ca){a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right) b) 1a+b−c+1b+c−a+1c+a−b≥1a+1b+1c1a+b−c+1b+c−a+1c+a−b≥1a+1b+1c\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}

Đề bài

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:

a) $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2 (a b + b c + c a)$

b) $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng tính chất: Trong một tam giác, tổng độ dài 2 cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Suy ra $a^{2} < a (b + c), b^{2} < b (a + c), c^{2} < c (a + b)$

Cộng vế với vế ta được điêu cần chứng minh.

b) Chứng minh $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a - b}$

(xét hiệu $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a + b}$ )

Suy ra $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} \geq \frac{2}{b}$ ; $\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{2}{c}$ và $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{2}{a}$

Do đó $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ .

Lời giải chi tiết

a) Do $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên $a > 0, b > 0, c > 0, a + b > c, b + c > a, a + c > b$ .

Suy ra $a^{2} < a (b + c), b^{2} < b (a + c), c^{2} < c (a + b)$

Do đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} < a (b + c) + b (a + c) + c (a + b)$

Hay $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2 (a b + b c + c a)$

b) Chứng minh $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a - b}$

Xét hiệu

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a + b}$ $= \frac{b (a + b) + a (a + b) - 4 a b}{a b (a + b)}$

$= \frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{a b (a + b)}$ $= \frac{{(a - b)}^{2}}{a b (a + b)}$

Với a,b dương, ta có ${(a - b)}^{2} \geq 0, a b \geq 0, (a + b) \geq 0$ suy ra $\frac{{(a - b)}^{2}}{a b (a + b)} \geq 0$ hay $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a + b}$

Vậy $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$

Theo kết quả trên, ta có: $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} \geq \frac{4}{(a + b - c) + (b + c - a)}$

hay $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} \geq \frac{2}{b}$

Chứng minh tương tự, ta được $\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{2}{c}$ và $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{2}{a}$

Do đó $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ .