Giải bài 7 trang 36

Hãy khai triển và rút gọn biểu thức

Đề bài

Hãy khai triển và rút gọn biểu thức

${(1 + x)}^{4} + {(1 - x)}^{4}$

Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng biểu thức $1, 05^{4} + 0, 95^{4}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức nhị thức Newton ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l} {(1 + x)}^{4} = 1^{4} + C_{4}^{1} {.1}^{3} x + C_{4}^{2} {.1}^{2} x^{2} + C_{4}^{3} .1 x^{3} + C_{4}^{4} x^{4} \\ = 1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(1 - x)}^{4} = 1^{4} + C_{4}^{1} {.1}^{3} (- x) + C_{4}^{2} {.1}^{2} {(- x)}^{2} + C_{4}^{3} .1 {(- x)}^{3} + C_{4}^{4} {(- x)}^{4} \\ = 1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4} \end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l} {(1 + x)}^{4} + {(1 - x)}^{4} = 1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4} + 1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4} \\ = 2 + 12 x^{2} + 2 x^{4} \end{array}$

Vậy ${(1 + x)}^{4} + {(1 - x)}^{4} = 2 + 12 x^{2} + 2 x^{4}$

Ta có: $1, 05^{4} + 0, 95^{4} = {(1 + 0, 05)}^{4} + {(1 - 0, 05)}^{4}$

Áp dụng biểu thức vừa chứng minh ${(1 + x)}^{4} + {(1 - x)}^{4} = 2 + 12 x^{2} + 2 x^{4}$

ta có: $1, 05^{4} + 0, 95^{4} = {(1 + 0, 05)}^{4} + {(1 - 0, 05)}^{4} = 2 + 12.0, 0 5^{2} + 2.0, 0 5^{4} = 2, 0300125$