Giải bài 7 trang 37

Đề bài

Trong một phản ứng hoá học, lượng khí $C O_{2}$ thoát ra $V (t)$ được tính theo thời gian $t$ bằng công thức:

$V (t) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (e^{- k_{2} t} - e^{- k_{1} t}),$

Trong đó $V (t)$ được tính theo đơn vị mililít và $t$ được tính theo đơn vị giây; $k_{1}, k_{2}$ là các hằng số sao cho $k_{1} > k_{2} > 0$ .

Lượng khí $C O_{2}$ thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Vẽ bảng biến thiên của hàm số $V (t) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (e^{- k_{2} t} - e^{- k_{1} t}),$ với $t \in (0; + \infty)$ .

+) Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của hàm số $V (t)$ .

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $V (t) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (e^{- k_{2} t} - e^{- k_{1} t}),$ với $k_{1} > k_{2} > 0$ và $t \in (0; + \infty)$ .

Ta có $V^{'} (t) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (- k_{2} e^{- k_{2} t} + k_{1} e^{- k_{1} t}),$

Do đó $V^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (- k_{2} e^{- k_{2} t} + k_{1} e^{- k_{1} t}) = 0 \Leftrightarrow k_{2} e^{- k_{2} t} = k_{1} e^{- k_{1} t}$

$e^{(k_{2} - k_{1}) t} = \frac{k_{2}}{k_{1}} \Leftrightarrow (k_{2} - k_{1}) t = l n (\frac{k_{2}}{k_{1}}) \Leftrightarrow t = \frac{\ln (\frac{k_{2}}{k_{1}})}{k_{2} - k_{1}} .$

Đặt $t_{0} = \frac{\ln (\frac{k_{2}}{k_{1}})}{k_{2} - k_{1}} .$

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có $max_{(0; + \infty)} = V (t_{0}) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} [{(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{\frac{- k_{2}}{k_{2} - k_{1}}} - {(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{\frac{- k_{1}}{k_{2} - k_{1}}}]$ tại $t = t_{0} = \frac{\ln (\frac{k_{2}}{k_{1}})}{k_{2} - k_{1}} .$

Vậy lượng khí $C O_{2}$ thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là $\frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} [{(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{\frac{- k_{2}}{k_{2} - k_{1}}} - {(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{\frac{- k_{1}}{k_{2} - k_{1}}}]$ (mililit).