Giải bài 7 trang 39

Đề bài

Mỗi tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Số tập hợp con có 0 phần tử là: $1=C_{12}^0$ (tập rỗng)

Số tập hợp con có 1 phần tử là: $C_{12}^1$

Số tập hợp con có k phần tử là: $C_{12}^k$

$\Rightarrow$Số tập hợp con của tập hợp có 12 phần tử là: $C_{12}^0+C_{12}^1+C_{12}^2+...+C_{12}^{12}$

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${\left(1+x\right)}^{12}=C_{12}^0+C_{12}^{1}x+C_{12}^2{x}^2+...+C_{12}^{12}{x}^{12}$

Thay $x=1$ ta được $C_{12}^0+C_{12}^1+C_{12}^2+...+C_{12}^{12}=2^{12}=4096$

Cách 2:

Ta chứng minh bằng quy nạp công thức: Tập hợp A có n phần tử thì có $2^n$ tập con.

Bước 1: Với $n=0$ ta có A là tập rỗng có duy nhất $1=2^0$ tập con là tập rỗng.

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp $n=0$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, nghĩa là có:

Tập hợp A có k phần tử thì có $2^k$ tập con

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$, nghĩa là cần chứng minh

Tập hợp A có $k+1$ phần tử thì có $2^{k+1}$ tập con

Thật vậy chọn ra k phần tử của A, từ đó tạo thành $2^k$ tập con theo giả thiết quy nạp. Ngoài ra, với mỗi tập trong  $2^k$tập này, ta bổ sung thêm phần tử thứ k+1 còn lại vào mỗi tập. Ta thu được thêm $2^k$tập nữa. Do đó ta được tất cả $2^k+2^k={2.2}^k=2^{k+1}$ tập con

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $n\in N$

Như vậy tập có 12 phần tử thì có tất cả $2^{12}=4096$ tập con.