Giải bài 7 trang 43

Đề bài

Cho hàm số $y=\frac{-2}{x}$. Chứng tỏ hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{-2}{x}$.

+ Lấy $x_1,x_2\in \left(-\infty ;0\right)$ với $x_1<x_2$

Ta có: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{-2}{x_1}-\frac{-2}{x_2}=\frac{2\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}$

Mà $x_1<x_2<0\Rightarrow x_1-x_2<0,x_1.x_2>0$

$\Rightarrow f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0\iff f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;0\right)$

+ Lấy $x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$ với $x_1<x_2$

Ta có: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{-2}{x_1}-\frac{-2}{x_2}=\frac{2\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}$

Mà $0<x_1<x_2\Rightarrow x_1-x_2<0,x_1.x_2>0$

$\Rightarrow f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0\iff f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

 

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và  $\left(0;+\infty \right)$