Giải bài 7 trang 45

Đề bài

Chọn 4 trong số 3 học sinh nam và 5 học sinh nữ tham gia một cuộc thi.

a) Nếu chọn 2 nam và 2 nữ thì có bao nhiêu cách chọn?

b) Nếu trong số học sinh được chọn nhất thiết phải có học sinh nam A và học sinh nữ B thì có bao nhiêu cách chọn?

c) Nếu phải có ít nhất một trong hai học sinh A và B được chọn, thì có bao nhiêu cách chọn?

d) Nếu trong 4 học sinh được chọn phải có cả học sinh nam và học sinh nữ thì có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải chi tiết

a) Có 2 công đoạn:

+ Chọn 2 nam trong 3 nam: $C_{3}^{2} = 3$ cách chọn.

+ Chọn 2 nữ trongg 5 nữ: $C_{5}^{2} = 10$ cách chọn

Theo quy tắc nhân, có 3.10 = 30 cách chọn.

Cần chọn 4 người, trong đó đã có A và B. Vậy ta chỉ cần chọn thêm 2 trong số 3 + 5 - 2 = 6 học sinh còn lại.

Chọn 2 học sinh còn lại trong 6 học sinh còn lại: $C_{6}^{2} = 15$ cách chọn.

Vậy có 15 cách chọn.

c) Có 3 trường hợp xảy ra: có cả A và B; chỉ có A; chỉ có B.

+ Có cả A và B: theo ý b) ta có 15 cách chọn.

+ Chỉ có A: Ta cần chọn thêm 3 bạn từ số HS còn lại (không tính cả A và B).

Tức là chọn 3 trong 6 học sinh, có $C_{6}^{3} = 20$ cách chọn.

+ Chỉ có B: Ta cần chọn thêm 3 bạn từ số HS còn lại (không tính cả B và A).

Tức là chọn 3 trong 6 học sinh, có $C_{6}^{3} = 20$ cách chọn

Theo quy tắc cộng, ta có 15 + 20 + 20 = 55 cách chọn.

d) Cần chọn 4 người, mà chỉ có 3 nam nên chắc chẵn sẽ có HS nữ.

Các trường hợp có thể xảy ra là: Có 1 nam; có 2 nam; có 3 nam.

+ Chọn 1 nam và 3 nữ:

Chọn 1 nam (trong 3 nam): có 3 cách.

Chọn 3 nữ trong 5 nữ: có $C_{5}^{3} = 10$ cách chọn.

Do đó có 3.10 = 30 cách chọn 1 nam và 3 nữ.

+ Chọn 2 nam và 2 nữ:

Chọn 2 nam (trong 3 nam): có $C_{3}^{2} = 3$ cách.

Chọn 2 nữ trong 5 nữ: có $C_{5}^{2} = 10$ cách chọn.

Do đó có 3.10 = 30 cách chọn 2 nam và 2 nữ.

+ Chọn 3 nam và 1 nữ:

Chọn 3 nam (trong 3 nam): có 1 cách.

Chọn 1 nữ trong 5 nữ: có 5 cách chọn.

Do đó có 1.5 = 5 cách chọn 3 nam và 1 nữ.

Vậy để chọn 4 học sinh có cả nam và nữ ta có: 30 + 30 + 5 = 65 cách chọn.