Giải bài 7 trang 46

Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian (Oxyz) như Hình 9 nhờ một phần mềm đồ hoạ máy tính. a) Viết phương trình mặt phẳng mái nhà (left( {DEMM} right)). b) Tính khoảng cách từ điểm (B) đến mái nhà (left( {DEMM} right)).

Đề bài

Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian $O x y z$ như Hình 9 nhờ một phần mềm đồ hoạ máy tính.

a) Viết phương trình mặt phẳng mái nhà $(D E M M)$ .

b) Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mái nhà $(D E M M)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$ :

Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ .

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

‒ Khoảng cách từ điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ :

$d (M_{0}; (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{D E} = (6; 0; 0), \vec{D N} = (0; 2; 2)$ .

Khi đó, $[\vec{D E}, \vec{D N}] = (0.2 - 0.2; 0.0 - 6.2; 6.2 - 0.0) = (0; - 12; 12)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(D E M M)$ .

Phương trình mặt phẳng $(D E M M)$ là:

$0 (x - 0) - 12 (y - 0) + 12 (z - 4) = 0 \Leftrightarrow - 12 y + 12 z - 48 = 0 \Leftrightarrow y - z + 4 = 0$ .

b) $O A B C . D E F H$ là hình hộp chữ nhật nên $B (6; 4; 0)$

Khoảng cách từ điểm $B$ đến mái nhà $(D E M M)$ bằng:

$d (B, (D E M M)) = \frac{| 4 - 0 + 4 |}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 4 \sqrt{2}$ .