Giải bài 7 trang 55

Đề bài

Người ta muốn dựng một cột ăng-ten trên một sườn đồi. Ăng-ten được dựng thẳng đứng trong không gian $O x y z$ với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi $O$ là gốc cột, $A$ là điểm buộc dây cáp vào cột ăng-ten và $M, N$ là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết toạ độ các điểm nói trên lần lượt là $O (0; 0; 0), A (0; 0; 6), M (3; - 4; 3),$ $N (- 5; - 2; 2)$ .

a) Tính độ dài các đoạn dây cáp $M A$ và $N A$ .

b) Tính góc tạo bởi các sợi dây cáp $M A, N A$ với mặt phẳng sườn đồi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $A B$ :

$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

‒ Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó ta có:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $M A = | \vec{M A} | = \sqrt{{(0 - 4)}^{2} + {(0 - (- 4))}^{2} + {(6 - 3)}^{2}} = \sqrt{34} \approx 5, 8 (m)$ .

$N A = | \vec{N A} | = \sqrt{{(0 - (- 5))}^{2} + {(0 - (- 2))}^{2} + {(6 - 2)}^{2}} = \sqrt{45} \approx 6, 7 (m)$ .

b) Ta có: $\vec{M A} = (- 3; 4; 3), \vec{N A} = (5; 2; 4), \vec{O M} = (3; - 4; 3), \vec{O N} = (- 5; - 2; 2)$

$[\vec{O M}, \vec{O N}] = (- 2; - 21; - 26)$ .

Do đó $(O M N)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (- 2; - 21; - 26)$ .

Ta có:

$\sin (M A, (O M N)) = | \cos (\vec{M A}, \vec{n}) | = \frac{| (- 3) . (- 2) + 4. (- 21) + 3. (- 26) |}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2} + 3^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 21)}^{2} + {(- 26)}^{2}}} = \frac{156}{\sqrt{38114}}$

Vậy $(M A, (O M N)) \approx 53^{\circ}$ .

$\sin (N A, (O M N)) = | \cos (\vec{N A}, \vec{n}) | = \frac{| 5. (- 2) + 2. (- 21) + 4. (- 26) |}{\sqrt{5^{2} + 2^{2} + 4^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 21)}^{2} + {(- 26)}^{2}}} = \frac{156}{\sqrt{50445}}$

Vậy $(N A, (O M N)) \approx 44^{\circ}$ .