Giải bài 7 trang 61

Giải các bất phương trình sau:

Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) $2 x^{2} + 3 x + 1 \geq 0$

b) $- 3 x^{2} + x + 1 > 0$

c) $4 x^{2} + 4 x + 1 \geq 0$

d) $- 16 x^{2} + 8 x - 1 < 0$

e) $2 x^{2} + x + 3 < 0$

g) $- 3 x^{2} + 4 x - 5 < 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Giải bất phương trình dạng $f (x) > 0$ .

Bước 1: Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của $f (x)$ (nếu có)

Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho $f (x)$ mang dấu “+”

Bước 3: Các bất phương trình bậc hai có dạng $f (x) < 0, f (x) \geq 0, f (x) \leq 0$ được giải bằng cách tương tự.

Lời giải chi tiết

a) $2 x^{2} + 3 x + 1 \geq 0$

Tam thức bậc hai $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ có 2 nghiệm phân biệt $x = - 1, x = \frac{- 1}{2}$

hệ số $a = 2 > 0$

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f (x) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq - 1 \\ x \geq - \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(- \infty; - 1] \cup [- \frac{1}{2}; + \infty)$

b) $- 3 x^{2} + x + 1 > 0$

Tam thức bậc hai $f (x) = - 3 x^{2} + x + 1$ có 2 nghiệm phân biệt $x = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}, x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Hệ số $a = - 3 < 0$

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f (x) > 0$ $\Leftrightarrow \frac{1 - \sqrt{13}}{6} < x < \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(\frac{1 - \sqrt{13}}{6}; \frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

c) $4 x^{2} + 4 x + 1 \geq 0$

Tam thức bậc hai $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 1$ có nghiệm duy nhất $x = \frac{- 1}{2}$

hệ số $a = 4 > 0$

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in R$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $R$

d) $- 16 x^{2} + 8 x - 1 < 0$

Tam thức bậc hai $f (x) = - 16 x^{2} + 8 x - 1$ có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{4}$

hệ số $a = - 16 < 0$

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f (x) < 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{1}{4}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $R ∖ {\frac{1}{4}}$

e) $2 x^{2} + x + 3 < 0$

Ta có $Δ = 1^{2} - 4.2.3 = - 23 < 0$ và có $a = 2 > 0$

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $2 x^{2} + x + 3$ mang dấu “-” là $\emptyset$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2 x^{2} + x + 3 < 0$ là $\emptyset$

g) $- 3 x^{2} + 4 x - 5 < 0$

Tam thức bậc hai $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x - 5$ có $Δ^{'} = 2^{2} - (- 3) . (- 5) = - 11 < 0$ và có $a = - 3 < 0$

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $- 3 x^{2} + 4 x - 5$ mang dấu “-” là $R$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $- 3 x^{2} + 4 x - 5 < 0$ là $R$