Giải bài 7 trang 65

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành để chứng minh: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Xét bài toán phụ: Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Lấy P đối xứng với M qua N. Chứng minh rằng MN//BC, $M N = \frac{B C}{2}$

Chứng minh:

Tam giác AMN và tam giác CPN có:

$N A = N C (g t), \hat{N_{1}} = \hat{N_{2}}$ (hai góc đối đỉnh), $N M = N P$ (gt)

Do đó, $Δ A N M = Δ C N P (c - g - c)$

Suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{C_{1}}$ , mà hai góc này ở vị trí so le trong nên CP//AB hay CP//BM

Lại có: $C P = A M = B M$

Tứ giác BMPC có: CP//BM, $C P = B M$ nên tứ giác BMPC là hình bình hành. Do đó, MN//BC, $M N = \frac{B C}{2}$

Giải bài 7

Xét tam giác ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD (giả thiết) nên theo bài toán phụ, ta có: $M N = \frac{A D}{2}$ , MN//AD.

Xét tam giác ACD có P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AC (giả thiết) nên theo bài toán phụ, ta có: $P Q = \frac{A D}{2}$ , PQ//AD.

Xét tứ giác MNPQ có MN//PQ (cùng song song với AD), $M N = P Q (= \frac{A D}{2})$ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.