Giải bài 7 trang 65 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Sử dụng định nghĩa căn bậc ba, chứng minh rằng $\sqrt[3]{37+5\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$.

Lời giải chi tiết

Theo định nghĩa, $\sqrt[3]{37+5\sqrt{2}}$ là một số thực x thỏa mãn $x^3=7+5\sqrt{2}$.

Vì vậy, để chứng minh $\sqrt[3]{37+5\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$ chỉ cần chứng tỏ ${\left(\sqrt{2}+1\right)}^3=7+5\sqrt{2}$

Thật vậy áp dụng hằng đẳng thức ${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ ta có:

${\left(\sqrt{2}+1\right)}^3={\left(\sqrt{2}\right)}^3+3{\left(\sqrt{2}\right)}^2+3\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1=7+5\sqrt{2}$

Vậy $\sqrt[3]{37+5\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$.